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I found some work that has been done by a mathematician, Fred Holt, which relates to the gaps between prime numbers.
Fred Holt has defined the recursive process that generates the sequences I have been looking at here. I came accross the sequence in a different way but the pattern is the same because Fred is also looking at the evolution of gaps in primes using the Eratosthenes sieve.
If you're interested you can find Fred's Paper here. On pages 7 and 8 of the PDF you can see the example of the recursive process that caught my eye.
Below is a copy of a raw text file that I worked on just before finding Fred's work (I actually found his paper by running a search in Google with part of one of the sequences). I had found that the sequences were mirrored about a central '4 2 4 2 4' from n = 11, and that the end of the sequence is always (n - 1) 2 (n - 1). I couldn't find the algorithm that defines the evolution... which is what pushed me to look around, because I was sure it was there... as mentioned previously there is an obvious beginning to a pattern in the evolution of sequences by removing the first number from the previous sequence and lining it up with next.
Skip analysis... offsets from squares that actually contribute to defining composites
* = repeat sequence
2 ^ 2 + 2n = 1*
1*
(total = 1)
3^2 + 3n = 2 *
2*
(total = 2)
5^2 + 5n
2 4*
(total = 6)
7^2 + 7n
4 2 4 2 4 6 2 6*
(total = 30)
11^2 + 11n
2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 2 6 4 2 6 4 6 8 4 2 4 2 4 8 6 4 6 2 4 6 2 6 6 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 10 2 10 *
(total = 210)
13^2 + 13n
4 2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 2 6 4 2 6 4 6 8 4 2 4 2 4 14 4 6 2 10 2 6 6 4 2 4 6 2 10 2 4 2 12 10 2 4 2 4 6 2 6 4 6 6 6 2 6 4 2 6 4 6 8 4 2 4 6 8 6 10 2 4 6 2 6 6 4 2 4 6 2 6 4 2 6 10 2 10 2 4 2 4 6 8 4 2 4 12 2 6 4 2 6 4 6 12 2 4 2 4 8 6 4 6 2 4 6 2 6 10 2 4 6 2 6 4 2 4 2 10 2 10 2 4 6 6 2 6 6 4 6 6 2 6 4 2 6 4 6 8 4 2 6 4 8 6 4 6 2 4 6 8 6 4 2 10 2 6 4 2 4 2 10 2 10 2 4 2 4 8 6 4 2 4 6 6 2 6 4 8 4 6 8 4 2 4 2 4 8 6 4 6 6 6 2 6 6 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 10 2 10 2 6 4 6 2 6 4 2 4 6 6 8 4 2 6 10 8
4 2 4 2 4
8 10 6 2 4 8 6 6 4 2 4 6 2 6 4 6 2 10 2 10 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 2 6 6 6 4 6 8 4 2 4 2 4 8 6 4 8 4 6 2 6 6 4 2 4 6 8 4 2 4 2 10 2 10 2 4 2 4 6 2 10 2 4 6 8 6 4 2 6 4 6 8 4 6 2 4 8 6 4 6 2 4 6 2 6 6 4 6 6 2 6 6 4 2 10 2 10 2 4 2 4 6 2 6 4 2 10 6 2 6 4 2 6 4 6 8 4 2 4 2 12 6 4 6 2 4 6 2 12 4 2 4 8 6 4 2 4 2 10 2 10 6 2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 2 6 4 2 10 6 8 6 4 2 4 8 6 4 6 2 4 6 2 6 6 6 4 6 2 6 4 2 4 2 10 12 2 4 2 10 2 6 4 2 4 6 6 2 10 2 6 4 14 4 2 4 2 4 8 6 4 6 2 4 6 2 6 6 4 2 4 6 2 6 4 2 4
12 2 12 *
(total = 2310)
17^2 + 17n
2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 2 6 4 2 6 4 6 8 4 2 4 2 4 14 4 6 2 10 2 6 6 4 6 6 2 10 2 4 2 12 12 4 2 4 6 2 10 6 6 6 2 6 4 2 6 4 14 4 2 4 6 8 6 10 2 4 6 2 6 6 6 4 6 2 6 4 8 10 2 10 2 4 2 4 6 8 4 2 4 12 8 4 2 6 4 6 12 2 4 2 12 6 4 6 6 6 2 6 10 2 4 6 2 6 6 4 2 10 2 10 2 4 6 6 2 6 6 4 6 8 6 4 2 6 4 6 8 4 2 6 4 8 6 4 8 4 6 8 10 2 10 2 6 4 2 4 2 10 2 10 2 4 2 4 14 4 2 4 6 6 2 6 4 8 10 8 4 2 4 6 8 6 4 6 6 6 2 6 6 4 2 4 6 2 10 2 4 2 10 2 10 2 6 4 8 6 4 2 4 6 6 8 4 2 6 10 8 4 2 6 4 8 10 6 2 4 8 6 6 4 2 4 6 2 6 4 6 2 10 12 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 12 2 6 6 10 6 8 4 2 4 2 4 8 6 12 4 6 2 12 4 2 4 6 8 4 2 4 2 12 10 2 4 2 4 6 2 10 2 4 6 8 6 4 2 6 4 6 8 4 6 2 4 8 6 4 6 2 4 6 2 6 6 4 6 6 8 6 4 2 10 2 10 2 4 2 10 2 6 4 2 10 6 2 6 4 2 6 4 6 8 6 4 2 12 10 6 2 4 6 2 12 4 2 4 8 6 4 2 4 2 10 2 10 6 2 4 6 2 6 4 2 10 6 2 6 4 12 6 8 6 4 2 4 8 6 4 6 2 4 6 8 6 6 4 6 2 6 4 2 4 2 10 12 2 4 12 2 6 4 2 4 6 6 2 12 6 4 18 2 4 2 4 8 6 4 6 2 4 8 6 6 4 2 4 6 2 6 4 2 4 12 2 12 6 4 6 2 6 4 6 6 6 2 6 4 2 6 4 6 8 4 2 4 2 4 14 4 6 2 10 2 6 6 4 2 10 2 10 2 4 14 10 2 4 2 4 6 2 6 10 6 6 2 10 2 6 4 6 8 4 2 4 6 8 6 10 2 4 6 2 6 6 4 2 4 6 2 6 4 2 6 10 2 10 6 2 4 6 8 4 2 4 12 2 6 4 2 6 4 6 12 2 4 2 4 8 6 4 6 2 10 2 6 10 6 6 2 6 4 2 4 2 10 2 12 4 6 6 2 12 4 6 6 2 6 4 2 6 4 14 4 2 6 4 8 6 4 6 2 4 6 8 6 6 10 2 6 4 6 2 10 2 10 2 4 2 4 8 6 4 2 4 6 6 8 4 8 4 6 8 4 2 4 2 12 6 4 6 6 6 2 6 6 4 2 4 6 2 6 6 4 2 10 2 10 2 6 4 6 2 6 4 2 4 6 14 4 2 6 10 8 4 2 4 2 4 8 10 8 4 8 6 10 2 4 6 2 6 4 6 2 10 2 10 2 4 2 4 6 8 4 2 4 6 6 2 6 6 6 10 8 4 2 4 6 8 6 4 8 4 6 2 6 6 4 2 4 6 12 2 4 2 10 2 10 2 4 2 4 8 10 2 4 6 8 6 4 2 6 4 6 8 4 8 4 8 6 4 6 2 4 6 2 6 6 4 6 6 2 6 6 4 2 10 12 2 4 2 4 6 2 6 4 2 16 2 6 4 2 10 6 8 4 2 4 2 12 6 10 2 4 6 2 12 4 2 4 8 6 4 2 4 2 12 10 6 2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 2 6 4 2 10 6 8 10 2 4 8 6 4 6 2 4 6 2 6 6 6 4 6 8 4 2 4 2 10 12 2 4 2 10 2 6 4 2 4 6 6 2 10 2 6 4 14 6 4 2 4 8 10 6 2 4 6 2 6 6 4 2 4 8 6 4 2 4 12 2 12 4 2 4 6 2 6 4 2 10 6 2 6 4 8 4 6 8 4 2 4 2 4 14 4 6 2 10 8 6 4 2 4 6 2 10 2 4 2 12 10 2 4 6 6 2 6 4 6 6 6 2 6 6 6 4 6 12 2 4 6 8 6 10 2 4 8 6 6 4 2 4 6 2 6 4 2 6 10 2 10 2 6 4 6 8 4 6 12 2 6 4 2 6 4 6 12 2 4 2 4 14 4 6 2 4 6 2 6 10 2 10 2 6 4 2 4 12 2 10 2 4 6 6 2 6 6 4 6 6 2 10 2 6 4 6 8 4 2 6 4 8 6 4 6 2 4 6 8 6 4 2 10 2 6 4 2 6 10 2 10 6 2 4 8 6 4 2 4 6 6 2 6 4 8 4 6 8 4 2 4 2 4 8 6 4 6 12 2 6 6 4 6 6 2 6 4 2 4 2 10 2 12 6 4 6 2 10 2 4 6 6 8 4 2 6 18 4 2 4 2 4 8 10 6 2 4 8 6 6 6 4 6 2 6 4 6 2 10 2 10 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 8 6 6 4 6 8 4 2 4 2 12 6 4 12 6 2 6 6 4 2 4 6 8 6 4 2 10 2 10 2 4 2 4 6 2 10 2 4 6 8 6 4 2 6 4 6 8 4 6 2 4 8 6 4 8 4 6 2 6 10 6 6 2 6 6 4 2 10 2 10 2 4 2 4 6 8 4 2 10 6 2 6 4 2 6 10 8 4 2 4 14 6 4 6 2 4 6 2 12 4 2 4 8 10 2 4 2 10 2 10 6 2 4 8 6 4 2 4 6 6 2 6 4 2 10 6 8 6 6 4 8 6 4 6 2 4 6 2 6 6 6 4 6 2 6 4 2 4 2 10 12 2 4 2 10 2 6 4 2 4 12 2 10 2 10 14 4 2 4 2 4 8 6 10 2 4 6 2 12 4 2 4 6 2 6 4 2 4 14 12 4 2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 2 6 4 2 6 4 6 8 4 6 2 4 14 4 6 2 10 2 6 6 4 2 4 6 12 2 4 2 12 10 2 4 2 10 2 6 4 6 6 6 2 6 4 2 6 4 6 8 6 4 6 8 16 2 4 6 2 6 6 4 2 4 8 6 4 2 6 10 2 10 2 4 2 4 6 8 4 2 16 2 6 4 8 4 6 12 2 4 2 4 8 6 4 6 2 4 6 8 10 2 4 6 2 6 4 2 4 2 10 2 10 2 4 6 6 2 6 6 4 6 6 2 6 6 6 4 6 12 2 6 4 8 6 4 6 2 4 14 6 4 2 10 2 6 4 2 4 2 10 2 10 2 6 4 8 6 4 6 6 6 2 6 4 8 4 6 8 4 2 4 2 4 14 4 6 6 6 2 6 6 4 2 10 2 6 4 2 4 12 2 10 2 6 4 6 2 6 6 4 6 6 12 2 6 10 8 4 2 4 2 4 8 10 6 2 4 8 6 6 4 2 4 6 2 6 4 8 10 2 10 6 2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 2 6 6 6 4 6 8 4 2 4 2 4 8 6 4 8 10 2 6 6 4 6 6 8 4 2 4 2 10 2 12 4 2 4 6 2 10 2 4 6 8 6 4 2 6 4 14 4 6 2 4 8 6 4 6 2 4 6 2 6 6 10 6 2 6 10 2 10 2 10 2 4 2 4 6 2 6 4 2 10 6 8 4 2 6 4 6 8 4 2 4 2 12 6 4 6 6 6 2 12 4 2 4 8 6 6 4 2 10 2 10 6 2 4 6 2 6 4 2 4 6 8 6 4 2 10 6 8 6 4 2 4 8 6 4 8 4 6 2 6 12 4 6 2 6 4 2 4 2 10 12 2 4 2 10 8 4 2 4 6 6 2 10 2 6 18 4 2 4 6 8 6 4 6 2 4 6 2 6 6 4 2 4 6 2 10 2 4 12 2 12 4 2 4 8 6 4 2 4 6 6 2 6 4 2 6 4 6 8 4 2 6 4 14 4 6 2 10 2 6 6 4 2 4 6 2 10 2 4 2 22 2 4 2 4 6 2 6 4 6 12 2 6 4 2 10 6 8 4 2 4 6 8 6 10 2 4 6 2 12 4 2 4 6 2 6 4 2 6 12 10 2 4 2 4 6 8 4 2 4 12 2 6 4 2 6 4 6 12 6 2 4 8 6 4 6 2 4 6 2 6 10 2 4 6 8 4 2 4 2 10 2 10 2 4 12 2 6 6 4 6 6 2 6 4 2 6 4 6 8 6 6 4 8 10 6 2 4 6 8 6 4 2 12 6 4 2 4 2 10 2 10 2 4 2 4 8 6 4 2 10 6 2 6 4 8 4 6 8 4 2 4 2 4 8 6 4 6 6 6 8 6 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 10 2 10 2 10 6 2 6 4 2 4 6 6 8 6 6 10 12 2 4 2 4 8 10 6 2 4 8 6 6 4 2 4 6 2 6 4 6 2 10 2 10 2 6 4 6 2 6 4 6 6 6 2 6 6 6 4 6 8 4 2 4 2 4 14 4 8 4 6 2 6 6 4 2 10 8 4 2 4 12 2 10 2 4 2 4 6 2 12 4 6 8 10 2 6 4 6 8 4 6 2 4 8 6 4 6 2 4 6 2 6 6 4 6 6 2 6 6 6 10 2 10 6 2 4 6 2 6 4 2 10 6 2 6 4 2 6 4 6 8 4 2 4 2 12 6 4 6 2 10 2 12 4 6 8 6 4 2 4 2 10 2 16 2 4 6 2 10 2 4 6 6 2 6 4 2 10 14 6 4 2 4 8 6 4 6 2 4 6 2 6 6 6 4 6 2 6 4 6 2 10 12 2 4 2 10 2 6 4 2 4 6 6 12 2 6 4 14 4 2 4 2 12 6 4 6 6 6 2 6 6 4 2 4 6 2 6 6 4 12 2 12 4 2 4 6 2 6 4 2 4 6 8 6 4 2 6 4 6 8 4 2 4 2 4 14 4 8 10 2 6 10 2 4 6 2 10 2 4 2 12 10 2 4 2 4 6 8 4 6 6 6 2 6 4 2 6 10 8 4 2 4 6 8 6 10 2 4 6 2 6 6 4 2 4 6 2 10 2 6 10 2 10 2 4 2 4 14 4 2 4 12 2 6 4 2 6 4 6 12 2 6 4 8 6 4 6 2 4 6 2 6 10 2 4 6 2 6 4 2 4 2 10 12 2 4 6 6 2 6 6 4 12 2 6 4 2 10 6 8 4 2 6 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